1. Operaciones con números reales, complejos y expresiones algebraicas
1.1 Números reales
Número real
Número real, es cualquier número racional o irracional.
Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas.
Se pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le asocia el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se representan todos los números enteros.
Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta, bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante aproximaciones decimales. Es importante el hecho de que a cada punto de la recta le corresponde un número real y que cada número real tiene su lugar en la recta (correspondencia biunívoca). Por eso a la recta graduada de tal manera se la denomina recta real.
Número decimal periódico
Número decimal periódico, número decimal con infinitas cifras que se repiten periódicamente. Por ejemplo, 7,422222…; 0,531531531… y 42,567676767…
Las cifras que se repiten componen el periodo, que puede constar de una o más cifras. Para escribir un número decimal periódico, en lugar de repetir varias veces el periodo y añadir puntos suspensivos, se escribe el periodo con un arco encima:
Si el periodo comienza inmediatamente detrás de la coma decimal, el número se llama periódico puro (como 
), y si tiene más cifras entre la coma y el periodo se llama periódico mixto (como 
).
), y si tiene más cifras entre la coma y el periodo se llama periódico mixto (como ).La obtención de la fracción a partir de la cual se obtiene un decimal periódico (fracción generatriz) es un proceso algo complejo que conviene dominar.
Obtención de la fracción generatriz
Si se trata de un decimal periódico puro, N, con un periodo compuesto por n cifras, se multiplica el número por 10n, obteniendo así otro número con el mismo periodo. Restando 10nN - N se obtiene un número entero. Por ejemplo:
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Es decir
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Si se trata de un decimal periódico mixto, N, con un periodo de n cifras y un anteperiodo de m cifras, los números 10mN y 10m + nN tienen la misma parte decimal y, por tanto, su diferencia es un número entero. Por ejemplo:
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Es decir
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Recta
La recta, en geometría, es una línea infinita que describe de forma idealizada la imagen real de un hilo tenso o de un rayo de luz. La recta, al igual que el punto o el plano, es un concepto primitivo, que no se puede definir si no es recurriendo a otros conceptos que, a su vez, para ser definidos requieren de la recta.
Funciones
Las funciones que se representan mediante rectas son las lineales. Su expresión general es: y = mx+n donde m es la pendiente de la recta, es decir, un valor que indica la variación de la y por cada unidad que aumenta la x.
También se representan mediante rectas las funciones constantes, y = k. Son funciones lineales con pendiente cero.
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Número racional
Un número racional, es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1.
Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q.
Así como en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números.
Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico.
Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto, pero si en el denominador hay algún factor distinto de 2 o 5 la expresión decimal es periódica; por ejemplo:
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Suma de números racionales
La suma de dos números racionales es otro número racional, y cumple las siguientes propiedades:
- Asociativa:
(a+b)+c=a+(b+c)
- Conmutativa:
a+b=b+a
- Elemento neutro: El cero es un número racional que hace de elemento neutro en la suma,
a+0=a
- Elemento opuesto: El opuesto de un número racional a, es otro número racional–a,
a+(-a)=0
Producto de números racionales
El producto de dos números racionales es otro número racional y cumple las siguientes propiedades:
- Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
- Conmutativa:
a · b = b · a
- Elemento neutro: el 1 es un número racional que hace de elemento neutro del producto,
a∙1=a
- Elemento inverso: el inverso de un número racional a ≠ 0 es otro número racional
que multiplicado por a da 1:
- Distributiva respecto a la suma:
a · (b + c) = a · b + a · c
Número irracional
Un número irracional es un número no racional, es decir, que no se puede poner como cociente de dos números enteros.
La necesidad de los números irracionales surge de medir longitudes sobre algunas figuras geométricas: la longitud de la diagonal de un cuadrado tomando como unidad el lado del mismo es √2; la longitud de la diagonal de un pentágono tomando como unidad su lado es el número irracional φ llamado número áureo (φ es aproximadamente igual a 1,6818); la longitud de la circunferencia, tomando como unidad su diámetro es el número irracional π (pi).
La expresión decimal de cualquier número irracional consta de infinitas cifras no periódicas.
Existen una infinidad de números irracionales. Todos ellos, junto con los racionales, forman el conjunto de los números reales.
Fracción
Fracción, es el cociente indicado de dos números enteros que se llaman numerador, a, y denominador, b, donde b ha de ser ≠ 0.
Por ejemplo, en la fracción
el denominador, 5, indica que son “quintas partes”, es decir, denomina el tipo de parte de la unidad de que se trata; el numerador, 3, indica cuántas de estas partes hay que tomar: “tres quintas partes”.
Si el numerador es múltiplo del denominador, la fracción representa a un número entero:
Si el numerador no es múltiplo del denominador, la fracción representa a un número fraccionario, es decir, a un número no entero.
Equivalencia de las fracciones
Dos fracciones
y 
son equivalentes, expresándose
si a · b′ = b · a′.
Así,
Por que 21 · 12 = 9 · 28 = 252.
Simplificación
Si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un mismo número, d, distinto de 1 o -1, al dividirlos por d se obtiene otra fracción equivalente a ella. Se dice que la fracción se ha simplificado o se ha reducido:
Por ejemplo:
La fracción 12/9 es el resultado de simplificar 120/90 dividiendo sus términos por 10.
Fracción irreducible
Se dice que una fracción es irreducible si su numerador y su denominador son números primos entre sí.
La fracción 3/5 es irreducible. La fracción 12/9 no es irreducible porque se puede simplificar:
Reducción a común denominador
Reducir dos o más fracciones a común denominador es obtener otras fracciones respectivamente equivalentes a ellas y que todas tengan el mismo denominador. Si las fracciones de las que se parte son irreducibles, el denominador común ha de ser un múltiplo común de sus denominadores. Si es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de ellos, entonces se dice que se ha reducido al mínimo común denominador.
Por ejemplo, para reducir a común denominador las fracciones
se puede tomar 90 como denominador común, con lo que se obtiene:
Es decir,
es el resultado de reducir las tres fracciones anteriores a un común denominador: 90.
Pero si en vez de 90 se toma como denominador común 45, que es el m.c.m. de 3, 9 y 5, entonces se obtiene
que es el resultado de reducir las tres fracciones a su mínimo común denominador.
Suma de fracciones
Para sumar dos o más fracciones se reducen a común denominador, se suman los numeradores de éstas y se mantiene su denominador. Por ejemplo:
Producto de fracciones
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de sus numeradores y cuyo denominador es el producto de sus denominadores:
Inversa de una fracción
La inversa de una fracción a/b es otra fracción, b/a, que se obtiene permutando el numerador y el denominador. El producto de una fracción por su inversa es igual a 1:
Cociente de fracciones
El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda:
1.1.1 Suma y resta
1.1.2 Multiplicación y división
1.1.3 Raíces y potencias con exponente racional
1.2 Números complejos
1.2.1 Suma y resta
1.2.2 Multiplicación
1.3 Expresiones algebraicas
1.3.1 Suma y resta
1.3.2 Multiplicación y división
1.3.3 Raíces y potencias con exponente racional
1.3.4 Operaciones con radicales
2. Productos notables y factorización
2.1 Binomio de Newton (a+b)n, n Є N
2.2 Teorema del residuo y del factor
2.3 Simplificación de fracciones algebraicas
2.4 Operaciones confracciones algebraicas
3. Ecuaciones
3.1 Ecuación, identidad y propiedades de la igualdad
3.2 Ecuaciones de primer grado
3.3 Ecuaciones de segundo grado
4. Desigualdades
4.1 Desigualdad de primer grado en una variable y sus propiedades
5. Sistemas de ecuaciones
5.1 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
5.1.1 Métodos de solución
5.2 Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas
5.2.1 Métodos de solución (Regla de Cramer)
6. Funciones algebraicas
6.1 Dominio, contradominio y regla de correspondencia
6.2 Rango o imagen
6.3 Gráfica
6.4 Implícitas y explícitas
6.5 Crecientes y decrecientes
6.6 Continuas y discontinuas
6.7 Álgebra de funciones
7. Trigonometría
7.1 Trigonometría básica
7.1.1 Medida de un ángulo (conversión de grados a radianes y de radianes a grados)
7.1.2 Razones trigono métricas
7.1.3 Resolución de triángulos rectángulos
7.1.4 Ley de los Senos y Ley de los Cosenos
7.1.5 Resolución de triángulos oblicuángulos
7.1.6 Razones trigonométricas para un ángulo en cual quier cuadrante. Fórmulas de reducción
7.2 Funciones trigonométricas
7.2.1 El círculo trigonométrico
7.2.2 Funciones trigonométricas directas
7.2.2.1 Dominio y rango
7.2.2.2 Periodo y amplitud
7.2.2.3 Defasamiento
7.2.2.4 Asíntotas de la gráfica
8. Funciones exponenciales y logarítmicas
8.1 Dominio y rango
8.2 Gráficas y asíntotas
9. Recta
9.1 Distancia entre dos puntos
9.2 Coordenadas de un punto que divide a un segmento de acuerdo con una razón dada
9.3 Pendiente de una recta
9.4 Formas de la ecuación de la recta y su gráfica
9.5 Condiciones de paralelismo y perpendicularidad
9.6 Distancia de un punto a una recta
9.7 Ecuaciones de las medianas, mediatrices y alturas de un triángulo. Puntos de intersección (ortocentro, circuncentro y baricentro)
10. Circunferencia
10.1 Circunferencia como lugar geométrico
10.2 Formas ordinaria (canónica) y general de la ecuación de la circunferencia con centro en el origen
10.3 Ecuación de la circunferencia con centro en (h, k) en las formas ordinaria y general
10.4 Elementos de una circunferencia
11. Parábola
11.1 Parábola como lugar geométrico
11.2 Formas ordinaria y general de la ecuación de la parábola cuando el vértice está en el origen y el eje focal coincide con alguno de los ejes coordenados
11.3 Formas ordinaria y general de la ecuación de la parábola cuando el vértice está en un punto cualquiera del plano y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados
11.4 Elementos de una parábola
12. Elipse
12.1 Elipse como lugar geométrico
12.2 Relación entre los parámetros a, b y c
12.3 Formas ordinaria y general de la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal sobre alguno de los ejes coordenados
12.4 Formas ordinaria y general de la ecuación de la elipse con centro fuera del origen y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados
12.5 Elementos de una elipse
13. Hipérbola
13.1 Hipérbola como lugar geométrico
13.2 Relación entre los parámetros de la hipérbola a, b y c
13.3 Formas ordinaria y general de la ecuación de la hipérbo la con centro en el origen y eje focal sobre alguno de los ejes coordenados
13.4 Formas ordinaria y general de la ecuación de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados
13.5 Elementos de una hipérbola
14. Ecuacióngeneral de segundo grado
14.1 Las cónicas
14.2 Ecuación general de segundo grado
14.3 Criterios para identificar a la cónica que representa una ecuación de segundo grado
14.4 Traslación de ejes
